Ниже — кратко и по делу: как решать «квадраты с пропущенными числами» (обычно — магические квадраты или таблицы с равными суммами строк/столбцов).
Алгоритм:
1. Установите правило задачи: что должно выполняться (все строки/столбцы/диагонали равны? используются ли подряд идущие числа 1..n^2? задана ли сумма?).
2. Если это магический квадрат из чисел $1\dots n^2$, найдите магическую сумму
$$S=\frac{n(n^2+1)}{2}.$$ Для $3\times 3$ это $S=15$, центр равен $\frac{n^2+1}{2}$ (для $3\times 3$ — $5$).
3. Пронумеруйте пустые клетки переменными $x,y,z,\dots$. Выпишите линейные уравнения для строк, столбцов и диагоналей, которые должны быть равны $S$ (или заданной сумме).
4. Решите систему уравнений — обычно это простая система линейных уравнений (можно вычитать одно уравнение из другого, подставлять найденные значения).
5. Используйте дополнительные свойства: для нечётных $n$ парные клетки, симметричные относительно центра, часто суммируются в $2\cdot$центра; для заполнения уникальными числами проверяйте, что числа не повторяются и лежат в допустимом диапазоне.
Пример (классический Lo Shu, некоторые клетки пропущены). Дано:
$$\begin{array}{ccc}8& ?& 6\\ ?& 5& ?\\ ?& ?& 2\end{array}$$ Знаем, что это $3\times 3$ магический квадрат, значит $S=15$. Обозначим неизвестные $x,y,z,u,v$ и выпишем уравнения:
$$8+x+6=15⟹x=1,$$ $$x+5+v=15⟹1+5+v=15⟹v=9,$$ $$6+z+2=15⟹z=7,$$ $$8+y+u=15⟹y+u=7,$$ $$y+5+z=15⟹y+5+7=15⟹y=3⟹u=4.$$ Получаем заполненный квадрат
$$\begin{array}{ccc}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}.$$
Если сумма строк/столбцов задана не как магическая, тот же метод: завести переменные, выписать уравнения и решить систему. Эффективные приёмы: подстановка (из простых строк/столбцов), вычитание уравнений, использование симметрии и среднего элемента.