Решение.
Исходное уравнение: $11\sin 2x-6{\cos }^{2}x-4=0.$
Подставляя ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, получаем
$$11\sin 2x-3(1+\cos 2x)-4=0\Rightarrow 11\sin 2x-3\cos 2x-7=0.$$
Пусть $R=\sqrt{11^2+(-3{)}^2}=\sqrt{130}$, выберем угол $\phi$ такой, что
$$\cos \phi =\frac{11}{\sqrt{130}},\sin \phi =-\frac{3}{\sqrt{130}}$$ (т.е. $\phi =-\arctan \frac{3}{11}$). Тогда
$$11\sin 2x-3\cos 2x=\sqrt{130}\sin (2x+\phi ),$$ и уравнение равносильно
$$\sin (2x+\phi )=\frac{7}{\sqrt{130}}.$$
Общее решение:
$$2x+\phi =\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}+2\pi k\text{или}2x+\phi =\pi -\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$
Отсюда
$$x=\frac{-\phi +\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}}{2}+\pi k\text{или}x=\frac{-\phi +\pi -\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$
Так как $\phi =-\arctan \frac{3}{11}$, можно также записать
$$x=\frac{\arctan \frac{3}{11}+\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}}{2}+\pi k\text{или}x=\frac{\arctan \frac{3}{11}+\pi -\arcsin \frac{7}{\sqrt{130}}}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$