Вероятность того, что пара обуви, поступившая в магазин, будет продана в течение недели, равна 0.85. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из 500 поступивших пар обуви в течение недели будет продано от 400 до 450 пар обуви. Найти вероятность того же события, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа и объяснить различие полученных результатов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины с конечным математическим ожиданием и дисперсией вероятность отклонения данной случайной величины от её математического ожидания на величину, большую чем k стандартных отклонений, не превышает 1/k^2.

В данном случае, математическое ожидание равно 0.85 500 = 425, а дисперсия равна 500 0.85 * 0.15 = 63.75. Стандартное отклонение равно корню из дисперсии, то есть примерно 7.98.

Теперь можем оценить вероятность того, что из 500 поступивших пар обуви будет продано от 400 до 450 пар обуви. Для этого найдем разность между математическим ожиданием и 400, а также разность между 450 и математическим ожиданием, и поделим эти разности на стандартное отклонение. Получим (425-400)/7.98 ≈ 3.13 и (450-425)/7.98 ≈ 3.13. Таким образом, по неравенству Чебышева вероятность того, что из 500 поступивших пар обуви будет продано от 400 до 450 пар, не меньше 1 - 1/(3.13)^2 = 0.9.

Теперь рассмотрим решение с использованием интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Для этого найдем значение стандартизованной нормальной случайной величины для 400 и 450 пар обуви: (400-425)/(7.98) ≈ -3.13 и (450-425)/(7.98) ≈ 3.13. Затем найдем соответствующие вероятности из таблицы стандартизированных значений нормального распределения. Вероятность того, что продано от 400 до 450 пар обуви, равна разности этих вероятностей и составляет примерно 0.899.

Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь оценку верхней границы вероятности, в то время как теорема Муавра-Лапласа позволяет точно вычислить вероятность события при достаточно большом числе наблюдений.