Сумма при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1. Начнём от геометрической прогрессии ∑n=0∞xn=11−x\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}n=0∑∞xn=1−x1. Дифференцируя по xxx и умножив на xxx, получаем ∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1.
\sum_{n=1}^\infty n x^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad |x|<1. n=1∑∞nxn=(1−x)2x,∣x∣<1. Радиус сходимости: по признаку d’Alembert (или корневому) радиус равен 111, т.е. ряд сходится ровно при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1. Поведение на границе ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1: - При x=1x=1x=1 ряд становится ∑n=1∞n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nn=1∑∞n, он расходится и стремится к +∞+\infty+∞ (термы не стремятся к нулю). - При x=−1x=-1x=−1 ряд становится ∑n=1∞n(−1)n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n(-1)^nn=1∑∞n(−1)n. Эта последовательность частичных сумм не сходится (термы по модулю nnn не обращаются в ноль, наблюдается неограниченная осцилляция), значит ряд расходится. Феномены и причины: - Необходимое условие сходимости ряда — уход членов в ноль; для ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1 имеем ∣nxn∣=n↛0|n x^n|=n\not\to0∣nxn∣=n→0, поэтому ряд расходится на всей окружности ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1. - При этом функция f(x)=x(1−x)2f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}f(x)=(1−x)2x — аналитическое продолжение суммы внутри круга; она имеет полюс второго порядка в x=1x=1x=1 (отсюда бесконечность при x→1x\to1x→1), но в x=−1x=-1x=−1 значение функции прекрасно определено: f(−1)=−14\displaystyle f(-1)=-\tfrac{1}{4}f(−1)=−41. По Абелевому пределу (Abel summation) можно присвоить ряду при x=−1x=-1x=−1 значение −14-\tfrac{1}{4}−41, хотя классическая сумма ряда отсутствует. Это демонстрирует различие между обычной сходимостью ряда и суммированием расширенными методами (Абеля, Чезаро и т.п.).
∑n=0∞xn=11−x\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}n=0∑∞ xn=1−x1 .
Дифференцируя по xxx и умножив на xxx, получаем
∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1. \sum_{n=1}^\infty n x^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad |x|<1.
n=1∑∞ nxn=(1−x)2x ,∣x∣<1.
Радиус сходимости: по признаку d’Alembert (или корневому) радиус равен 111, т.е. ряд сходится ровно при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1.
Поведение на границе ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1:
- При x=1x=1x=1 ряд становится ∑n=1∞n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty nn=1∑∞ n, он расходится и стремится к +∞+\infty+∞ (термы не стремятся к нулю).
- При x=−1x=-1x=−1 ряд становится ∑n=1∞n(−1)n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n(-1)^nn=1∑∞ n(−1)n. Эта последовательность частичных сумм не сходится (термы по модулю nnn не обращаются в ноль, наблюдается неограниченная осцилляция), значит ряд расходится.
Феномены и причины:
- Необходимое условие сходимости ряда — уход членов в ноль; для ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1 имеем ∣nxn∣=n↛0|n x^n|=n\not\to0∣nxn∣=n→0, поэтому ряд расходится на всей окружности ∣x∣=1|x|=1∣x∣=1.
- При этом функция f(x)=x(1−x)2f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}f(x)=(1−x)2x — аналитическое продолжение суммы внутри круга; она имеет полюс второго порядка в x=1x=1x=1 (отсюда бесконечность при x→1x\to1x→1), но в x=−1x=-1x=−1 значение функции прекрасно определено: f(−1)=−14\displaystyle f(-1)=-\tfrac{1}{4}f(−1)=−41 . По Абелевому пределу (Abel summation) можно присвоить ряду при x=−1x=-1x=−1 значение −14-\tfrac{1}{4}−41 , хотя классическая сумма ряда отсутствует. Это демонстрирует различие между обычной сходимостью ряда и суммированием расширенными методами (Абеля, Чезаро и т.п.).