Сумма чисел — это результат операции сложения: для двух чисел aaa и bbb сумма равна a+ba+ba+b. Краткие пояснения и нотации: - Для конечного набора чисел a1,…,ana_1,\dots,a_na1,…,an запись ∑i=1nai\sum_{i=1}^n a_i∑i=1nai означает a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\dots+a_na1+a2+⋯+an. - Свойства: коммутативность a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a, ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c), нейтральный элемент a+0=aa+0=aa+0=a, обратный элемент a+(−a)=0a+(-a)=0a+(−a)=0. - Для бесконечных последовательностей сумма (ряд) ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n∑n=1∞an определяется как предел частичных сумм SN=∑n=1NanS_N=\sum_{n=1}^N a_nSN=∑n=1Nan; ряд сходится, если limN→∞SN\lim_{N\to\infty}S_NlimN→∞SN существует. - Обобщения: операция суммы определена не только для чисел, но и в абстрактных структурах (группы, кольца, векторы) с аналогичными свойствами.
Краткие пояснения и нотации:
- Для конечного набора чисел a1,…,ana_1,\dots,a_na1 ,…,an запись ∑i=1nai\sum_{i=1}^n a_i∑i=1n ai означает a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\dots+a_na1 +a2 +⋯+an .
- Свойства: коммутативность a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a, ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c), нейтральный элемент a+0=aa+0=aa+0=a, обратный элемент a+(−a)=0a+(-a)=0a+(−a)=0.
- Для бесконечных последовательностей сумма (ряд) ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n∑n=1∞ an определяется как предел частичных сумм SN=∑n=1NanS_N=\sum_{n=1}^N a_nSN =∑n=1N an ; ряд сходится, если limN→∞SN\lim_{N\to\infty}S_NlimN→∞ SN существует.
- Обобщения: операция суммы определена не только для чисел, но и в абстрактных структурах (группы, кольца, векторы) с аналогичными свойствами.