Область допустимых значений: $7+6x>0,7-6x>0\Rightarrow -\frac{7}{6}<x<\frac{7}{6}$.
Преобразуем уравнение:
$${\log }_2(7+6x)-{\log }_2(7-6x)=2\Rightarrow {\log }_2\frac{7+6x}{7-6x}=2$$ $$\frac{7+6x}{7-6x}=2^2=4\Rightarrow 7+6x=4(7-6x)=28-24x$$ $$30x=21\Rightarrow x=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}.$$
Проверка: $-\frac{7}{6}<\frac{7}{10}<\frac{7}{6}$, значит решение допустимо.
Ответ: $x=\frac{7}{10}$.