Трем экскаваторам необходимо вырыть котлован объемом 3200 м3. Первый экскаватор за один час вынимает 42 м3 грунта, второй - на q м3/час меньше первого, а третий на 3q м3/час больше первого. Определить, при каком значении q работа будет выполнена за кратчайший срок, если вначале 800 м3 выкопают первый и второй экскаваторы, работая одновременно, а оставшуюся часть работы выполнят первый и третий экскаваторы, работая одновременно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим время, за которое работа выполнится, как Т.
Тогда объем работа, выполненной первым и вторым экскаваторами за время Т, равен 42Т+((42-q)Т)=242Т-qТ.
Объем работа, выполненной первым и третьим экскаваторами за время Т, равен 42Т+((42+3q)Т)=242Т+3qТ.

Так как суммарный объем работы равен 3200 м3, то:
242Т-qТ + 242Т+3qТ = 3200,
442Т + 2qТ = 3200,
442Т = 3200 - 2qТ,
168Т = 3200 - 2qТ,
168Т+2qТ = 3200,
(168+2q)Т = 3200,
Т = 3200 / (168+2q),
Т = 3200 / 168 + 16q.

Для того чтобы время выполнения работ было минимальным, нужно минимизировать функцию Т(q):
Т(q) = 19.0476 + 16q.

Дифференцируем данную функцию по q и приравниваем к нулю, чтобы найти минимум:
dT/dq = 16 = 0,
16 = 0,
q = 0.

Итак, при q = 0 работа будет выполнена за кратчайший срок.