Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями с помощью определённого интеграла, сделать иллюстрацию y=√x, y=2√x, y=2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади фигуры ограниченной графиками функций y=√x, y=2√x и y=2, сначала определим точки пересечения этих функций. Для этого приравняем соответствующие функции друг к другу:

√x = 2√x => x = 0 (т.е. y=0) и x ≠ 0
2√x = 2 => √x = 1 => x = 1

Таким образом, точки пересечения функций находятся при x=0 и x=1. Построим графики этих функций, чтобы определить границы интегрирования:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 1, 100)
y1 = np.sqrt(x)
y2 = 2*np.sqrt(x)
y3 = np.full_like(x, 2)
plt.plot(x, y1, label='y = √x')
plt.plot(x, y2, label='y = 2√x')
plt.plot(x, y3, label='y = 2')
plt.fill_between(x, y1, y3, where=(y1<y3), color='gray', alpha=0.5)
plt.fill_between(x, y2, y3, where=(y2<y3), color='gray', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.show()

Из графика видно, что площадь фигуры ограниченной этими функциями можно найти с помощью определенного интеграла от x=0 до x=1 разности y=2 и y=√x, а затем от x=1 до x=0 от разности y=2 и y=2√x.

Площадь можно вычислить следующим образом:

S = ∫[0, 1] (2 - √x) dx + ∫[1, 0] (2 - 2√x) dx

Подсчитаем первый интеграл:

∫[0, 1] (2 - √x) dx = [2x - 2/3*x^(3/2)] [0, 1] = 2 - 2/3 = 4/3

И второй:

∫[1, 0] (2 - 2√x) dx = [2x - 4/3*x^(3/2)] [1, 0] = 2 - 4/3 = 2/3

Таким образом, площадь фигуры равна S = 4/3 + 2/3 = 2.