Рассмотрим ряд ∑n=1∞nxn \sum_{n=1}^\infty n x^{n} ∑n=1∞nxn. 1) Радиус сходимости. По признаку отношения limn→∞∣(n+1)xn+1nxn∣=limn→∞n+1n∣x∣=∣x∣,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{n x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}|x|=|x|, n→∞limnxn(n+1)xn+1=n→∞limnn+1∣x∣=∣x∣,
следовательно ряд сходится лишь при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 (радиус сходимости R=1R=1R=1). 2) Вывод суммы (для ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1). Начнём с геометрической прогрессии ∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1.
\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1. n=0∑∞xn=1−x1,∣x∣<1.
Дифференцируя почленно по xxx (см. пункт 3), получаем ∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2.
\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}. n=1∑∞nxn−1=(1−x)21.
Умножая на xxx, получаем искомое ∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1.
\sum_{n=1}^\infty n x^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad |x|<1. n=1∑∞nxn=(1−x)2x,∣x∣<1. 3) Допустимые алгебраические операции и обоснование. - Дифференцирование почленно: для степенных рядов почленное дифференцирование и интегрирование допустимо внутри круга сходимости; новый ряд имеет тот же радиус сходимости. Это обеспечивается тем, что ряд и его производная сходятся равномерно на любых замкнутых поддисках ∣x∣≤r<1|x|\le r<1∣x∣≤r<1, что позволяет обменивать пределы и дифференцирование. - Умножение на xxx: это просто сдвиг степеней: x∑n=1∞anxn=∑n=1∞anxn+1x\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=\sum_{n=1}^\infty a_n x^{n+1}x∑n=1∞anxn=∑n=1∞anxn+1; такая операция не меняет радиус сходимости и допустима для ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1. - Комбинации (сложение, умножение на константу, почленное умножение на степенной множитель и т.п.) сохраняют сходимость внутри радиуса. 4) Почему важно контролировать область сходимости. Операции, разрешённые для сходящихся рядов (например, почленное дифференцирование, интегрирование, суммирование при переходе пределов), гарантированы только внутри круга сходимости; на границе или вне него поведение может резко отличаться (ряд может расходиться или пределы операций не совпадать). Например, при x=1x=1x=1 ряд ∑n\sum n∑n расходится, при x=−1x=-1x=−1 ряд ∑n(−1)n \sum n(-1)^n∑n(−1)n не имеет предела (член не стремится к нулю). При необходимости исследовать поведение на границе используют дополнительные теoreмы (например, теорему Абеля или аналитическое продолжение).
1) Радиус сходимости. По признаку отношения
limn→∞∣(n+1)xn+1nxn∣=limn→∞n+1n∣x∣=∣x∣, \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{n x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}|x|=|x|,
n→∞lim nxn(n+1)xn+1 =n→∞lim nn+1 ∣x∣=∣x∣, следовательно ряд сходится лишь при ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 (радиус сходимости R=1R=1R=1).
2) Вывод суммы (для ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1). Начнём с геометрической прогрессии
∑n=0∞xn=11−x,∣x∣<1. \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1.
n=0∑∞ xn=1−x1 ,∣x∣<1. Дифференцируя почленно по xxx (см. пункт 3), получаем
∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2. \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}.
n=1∑∞ nxn−1=(1−x)21 . Умножая на xxx, получаем искомое
∑n=1∞nxn=x(1−x)2,∣x∣<1. \sum_{n=1}^\infty n x^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad |x|<1.
n=1∑∞ nxn=(1−x)2x ,∣x∣<1.
3) Допустимые алгебраические операции и обоснование.
- Дифференцирование почленно: для степенных рядов почленное дифференцирование и интегрирование допустимо внутри круга сходимости; новый ряд имеет тот же радиус сходимости. Это обеспечивается тем, что ряд и его производная сходятся равномерно на любых замкнутых поддисках ∣x∣≤r<1|x|\le r<1∣x∣≤r<1, что позволяет обменивать пределы и дифференцирование.
- Умножение на xxx: это просто сдвиг степеней: x∑n=1∞anxn=∑n=1∞anxn+1x\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=\sum_{n=1}^\infty a_n x^{n+1}x∑n=1∞ an xn=∑n=1∞ an xn+1; такая операция не меняет радиус сходимости и допустима для ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1.
- Комбинации (сложение, умножение на константу, почленное умножение на степенной множитель и т.п.) сохраняют сходимость внутри радиуса.
4) Почему важно контролировать область сходимости. Операции, разрешённые для сходящихся рядов (например, почленное дифференцирование, интегрирование, суммирование при переходе пределов), гарантированы только внутри круга сходимости; на границе или вне него поведение может резко отличаться (ряд может расходиться или пределы операций не совпадать). Например, при x=1x=1x=1 ряд ∑n\sum n∑n расходится, при x=−1x=-1x=−1 ряд ∑n(−1)n \sum n(-1)^n∑n(−1)n не имеет предела (член не стремится к нулю). При необходимости исследовать поведение на границе используют дополнительные теoreмы (например, теорему Абеля или аналитическое продолжение).