Решите уравнение: cosx+cos2x+cos3x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой косинуса суммы:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Также воспользуемся формулой косинуса удвоенного угла:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
cos(3x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)

Имеем:

cos2x = cos^2(x) - sin^2(x)
cos3x = (cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x)

Теперь заменим в данном уравнении cos2x и cos3x:

cosx + (cos^2(x) - sin^2(x)) + ((cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x)) = 0

Раскроем скобки:

cosx + cos^2(x) - sin^2(x) + cos^3(x) - sin^2(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x) = 0

Упростим уравнение и приведем подобные слагаемые:

cos^3(x) + cos^2(x) - 2sin^2(x) - sin(x)(2sin(x)cos(x)) = 0
(cos(x) + sin(x))(cos^2(x) - 2sin^2(x)) = 0
(cos(x) + sin(x))(cos(x) + √2sin(x))(cos(x) - √2sin(x)) = 0

Итак, уравнение имеет три решения:

1) cos(x) + sin(x) = 0 => cos(x) = -sin(x) => tg(x) = -1 => x = arctg(-1) + πk

2) cos(x) + √2sin(x) = 0 => tg(x) = -√2 => x = arctg(-√2) + πk

3) cos(x) - √2sin(x) = 0 => tg(x) = √2 => x = arctg(√2) + πk

Где k - целое число.