Для решения этого интеграла используем тригонометрические тождества:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Теперь подставим эти значения в исходный интеграл:

dx / ((1 - cos(2x))/2 * (1 + cos(2x))/2)
= dx / ((1 - cos^2(2x))/4)
= 4dx / (1 - cos^2(2x))

Теперь воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством:

cos^2(θ) = (cos(2θ) + 1) / 2

Подставим это в интеграл:

4dx / (1 - (cos(4x) + 1)/2)
= 4dx / (1/2 - cos(4x)/2)
= 8dx / (1 - cos(4x))

Теперь интегрируем:

∫ 8dx / (1 - cos(4x)) = 8 ∫ dx / (1 - cos(4x))

Для интегрирования этого выражения можно воспользоваться формулой тангенса половинного угла:

cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)
получаем
∫ 8dx / (1 - (1 - 2sin^2(2x)))= ∫ 8dx / (2*sin^2(2x))

после переноса 8 внутрь интеграла и сделать замену y=sin(2x), получаем
4∫ dy/y^2
Интегрируя по y получаем
-4/y = -4/sin(2x)

Итак, интеграл равен -4/sin(2x) + C, где C - произвольная константа.