Докажите тождество:√(34+24√2)=4+3√2 √(73-40√3)=4√3-5 √(8√5+81)=1+4√5 √(11-2√30)=√6-√5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этих тождеств применим метод подбора.

√(34+24√2)=4+3√2
Пусть √(34+24√2)=a+b√2, где a и b - неизвестные константы.
Тогда мы можем выразить a и b из этого уравнения:

(а+√2b)^2=34+24√2
а^2+2b^2+2ab√2=34+24√2

Теперь сравниваем действительные и мнимые части уравнений:

a^2+2b^2=34 (1)
2ab=24 (2)

Из уравнения (2) находим, что a=4. Подставляя это значение в уравнение (1), находим b=3.
Таким образом, √(34+24√2)=4+3√2.

√(73-40√3)=4√3-5
Пусть √(73-40√3)=a+b√3, где a и b - неизвестные константы.

(а+√3b)^2=73-40√3
а^2+3b^2+2ab√3=73-40√3

Теперь сравниваем действительные и мнимые части уравнений:

a^2+3b^2=73 (3)
2ab=-40 (4)

Из уравнения (4) находим, что a=-5. Подставляя это значение в уравнение (3), находим b=4.
Таким образом, √(73-40√3)=4√3-5.

√(8√5+81)=1+4√5
Пусть √(8√5+81)=a+b√5, где a и b - неизвестные константы.

(а+√5b)^2=8√5+81
а^2+5b^2+2ab√5=8√5+81

Теперь сравниваем действительные и мнимые части уравнений:

a^2+5b^2=81 (5)
2ab=8 (6)

Из уравнения (6) находим, что a=1. Подставляя это значение в уравнение (5), находим b=4.
Таким образом, √(8√5+81)=1+4√5.

√(11-2√30)=√6-√5
Пусть √(11-2√30)=a+b√5, где a и b - неизвестные константы.

(а+√5b)^2=11-2√30
а^2+5b^2+2ab√5=11-2√30

Теперь сравниваем действительные и мнимые части уравнений:

a^2+5b^2=11 (7)
2ab=-2 (8)

Из уравнения (8) находим, что a=√6. Подставляя это значение в уравнение (7), находим b=-√5.
Таким образом, √(11-2√30)=√6-√5.