Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем конуса, если площадь сечения, которое проходит через две образующие, угол между которыми 120°, равна 4√3 см^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус основания конуса как r, высоту конуса как h и длину образующей конуса как l.

Так как образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, то мы имеем правильный треугольник, в котором один из углов равен 30°, другой 90°, т.е. сам угол наклона, и третий угол равен 60°.

Таким образом, tan(30°) = r/h, откуда r = h tan(30°) = h 1/√3.

Также у нас есть правильный треугольник с углом между образующими 120°, который дает нам 3 равных между собой равных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Площадь одного из этих треугольников равна 1/2 r^2 = 1/2 (h^2 1/3) = h^2 1/(2√3) = √3 cm^2.

Таким образом, площадь одного из треугольников, образуемых двумя образующими конуса, равна 4√3 см^2, а это площадь одного из трех треугольников со стороной √3.

Из этого следует, что сторона треугольника равна √3, откуда h^2 = (√3)^2 * 3 = 9. Значит h = 3 см.

Теперь можем найти радиус основания: r = h 1/√3 = 3 1/√3 = √3 см.

И объем конуса выражается формулой V = 1/3 π r^2 h = 1/3 π (√3)^2 3 = 3π.

Итак, объем конуса равен 3π куб.см.