Провести полное исследование функции и построить её график y=x^2/(3-x^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Исследование функции y=x^2/(3-x^2):

Найдем область допустимых значений функции. В данном случае знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому уравнение 3-x^2=0 имеет решения x=√3 и x=-√3. Следовательно, область допустимых значений функции это (-∞, -√3) U (-√3, √3) U (√3, +∞).

Найдем точки пересечения с осями координат. Подставим y=0 для нахождения точек пересечения с осью x: 0=x^2/(3-x^2). Решив это уравнение, получим x=0.

Найдем производную функции. y'= (2x(3-x^2) - x^2*(-2x))/(3-x^2)^2 = 6x-2x^3 / (3-x^2)^2.

Найдем точки экстремума. Для этого приравняем производную к нулю: 6x-2x^3 = 0. Решив это уравнение, получим x=0 и x=±√2. Также проведем знаковый анализ производной и найдем, что функция убывает на интервалах (-∞, -√2), (-√2, 0) и (0, √2), и возрастает на интервалах (-√2, 0), (0, √2).

Найдем точку перегиба. Для этого найдем вторую производную функции: y''=(12-6x^2)/(3-x^2)^2. Подставляем x=0 во вторую производную и получаем y''=12/9=4. Так как вторая производная положительна, то точка x=0 - точка перегиба.

Построим таблицу значений и построим график функции y=x^2/(3-x^2).

Также можно использовать программы для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra, для более наглядного представления функции.