Найдите точку минимуму и максимуму функции: f(x)= 2x^4 - 4x^3 + 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремумов функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'(x) = 8x^3 - 12x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

8x^3 - 12x^2 = 0
4x^2(2x - 3) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = 3/2.

Для определения типа экстремумов воспользуемся второй производной:

f''(x) = 24x^2 - 24x

Теперь подставим критические точки и найдем значения второй производной:

f''(0) = 0
f''(3/2) = 27

Так как f''(3/2) > 0, то точка x = 3/2 - минимум.

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

f(0) = 20^4 - 40^3 + 2 = 2
f(3/2) = 2(3/2)^4 - 4(3/2)^3 + 2 = 13/8

Итак, точка минимума: (3/2, 13/8) – минимум
и точка максимума: (0, 2) – максимум.