Для начала найдем общее решение однородного уравнения:
y'' - 2y' + 5y = 0
Характеристическое уравнение: λ^2 - 2λ + 5 = 0
D = 4 - 4*5 = -16
λ1,2 = (2 ± i√16) / 2 = 1 ± 2i
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x)
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде yp = Csinx + Dcosx:
y'p = Ccosx - Dsinxy''p = -Csinx - Dcosx
Подставляем частное решение в уравнение:
(-Csinx - Dcosx) - 2(Ccosx - Dsinx) + 5(Csinx + Dcosx) = 10sinx
Решаем систему уравнений:
-C - 2D + 5C = 0-D - 2C + 5D = 10
4C - 2D = 0-2C + 4D = 10
C = 2D = 1
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно yp = 2sinx + cosx
Полное решение задачи Коши:
y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x) + 2sinx + cosx
Подставляем начальные условия:
y(0) = A + 2 = 2 -> A = 0y'(0) = 2B + 1 = 1 -> B = 0
Таким образом, искомое решение задачи Коши:
y(x) = 2sinx + cosx
Для начала найдем общее решение однородного уравнения:
y'' - 2y' + 5y = 0
Характеристическое уравнение: λ^2 - 2λ + 5 = 0
D = 4 - 4*5 = -16
λ1,2 = (2 ± i√16) / 2 = 1 ± 2i
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x)
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде yp = Csinx + Dcosx:
y'p = Ccosx - Dsinx
y''p = -Csinx - Dcosx
Подставляем частное решение в уравнение:
(-Csinx - Dcosx) - 2(Ccosx - Dsinx) + 5(Csinx + Dcosx) = 10sinx
Решаем систему уравнений:
-C - 2D + 5C = 0
-D - 2C + 5D = 10
4C - 2D = 0
-2C + 4D = 10
C = 2
D = 1
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно yp = 2sinx + cosx
Полное решение задачи Коши:
y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x) + 2sinx + cosx
Подставляем начальные условия:
y(0) = A + 2 = 2 -> A = 0
y'(0) = 2B + 1 = 1 -> B = 0
Таким образом, искомое решение задачи Коши:
y(x) = 2sinx + cosx