Исследовать и ограничить график функции с помощью производной y=x^4-2x^2+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную данной функции:

y' = 4x^3 - 4x

Затем найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

4x^3 - 4x = 0
4x(x^2 - 1) = 0
4x(x+1)(x-1) = 0

Отсюда получаем три критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.

Теперь построим таблицу знаков производной:

x < -1: y' < 0
-1 < x < 0: y' > 0
0 < x < 1: y' < 0
x > 1: y' > 0

Из этой таблицы следует, что у функции y=x^4-2x^2+2 есть локальный максимум в точке x = -1 и локальный минимум в точке x = 1.

Теперь посмотрим на поведение функции на бесконечности. При x -> +∞ или x -> -∞ значение функции стремится к плюс бесконечности, так как старший член в функции x^4.

Таким образом, график функции y=x^4-2x^2+2 ограничен снизу локальным минимумом в точке x = 1 и расходится вверх на бесконечности.