Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на (-4;3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 6x^2 + 6x - 36

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

6x^2 + 6x - 36 = 0

Решив это уравнение, получаем x = -3, x = 3.

Теперь для нахождения экстремумов проведем исследование функции на участках между критическими точками и на концах интервала (-4;3). Для этого найдем знак производной в этих точках:

f'(-4) = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 = 36 + (-24) - 36 = -24
f'(0) = 60^2 + 60 - 36 = -36
f'(3) = 63^2 + 63 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36

Из этого следует, что в точке x = -3 достигается минимум функции, а в точке x = 3 - максимум. Теперь найдем значения функции в этих точках:

f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -18 + 27 + 108 = 117
f(3) = 23^3 + 33^2 - 363 = 54 + 27 - 108 = -27

Таким образом, минимальное значение функции f(x) равно 117 (достигается в точке x = -3), а максимальное значение равно -27 (достигается в точке x = 3).