Найти общее решение дефференциального уравнения y"+y= cos^2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем общее решение однородного уравнения y"+y=0. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения будет иметь вид:

r^2 + 1 = 0.

Корни такого уравнения:

r1 = i
r2 = -i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y_p(x) для правой части уравнения y"+y= cos^2x. Поскольку правая часть является суммой косинусов и является четной функцией, частное решение будем искать в виде:

y_p(x) = a * cos^2(x), где a - коэффициент, который требуется найти.

Сначала найдем первую и вторую производные данной функции:

y_p'(x) = -2asin(x)cos(x),
y_p''(x) = -2a(sin^2(x) - cos^2(x)) = -a(1 - 2*cos^2(x)).

Подставляем это в исходное дифференциальное уравнение:

-a(1 - 2cos^2(x)) + a*cos^2(x) = cos^2(x).

-a + 3a*cos^2(x) = cos^2(x).

Таким образом, a = 1/3.

Итак, частное решение будет:

y_p(x) = 1/3 * cos^2(x).

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) + 1/3 * cos^2(x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.