Для исследования данной функции проанализируем ее свойства, такие как:

Вершина параболы

Направление выпуклости

Нули функции

Монотонность функции

Область значений

График функции

Вершина параболы:
Формула для нахождения вершины параболы y = ax^2 + bx + c имеет вид (-b/2a , y(-b/2a)).
Так как функция имеет вид y = 2x^2 + 5x - 4, то a = 2, b = 5.
x_v = -5/(22) = -5/4 = -1.25
y_v = 2(-1.25)^2 + 5(-1.25) - 4 = 21.5625 - 6.25 - 4 = 3.125 - 6.25 - 4 = -6.125
Вершина параболы находится в точке (-1.25, -6.125).

Направление выпуклости:
Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 2), то парабола направлена вверх, то есть функция имеет минимум.

Нули функции:
Для нахождения нулей функции решим уравнение 2x^2 + 5x - 4 = 0.
D = 5^2 - 42(-4) = 25 + 32 = 57.
x1,2 = (-5 \pm sqrt(57))/(2*2).
x1 = (-5 + sqrt(57))/4 ≈ -2.535, x2 = (-5 - sqrt(57))/4 ≈ 0.535.
Нули функции: x1 ≈ -2.535, x2 ≈ 0.535.

Монотонность функции:
Производная функции y = 2x^2 + 5x - 4 равна y' = 4x + 5.
Из производной видно, что в точке x = -5/4 = -1.25 производная равна 0, что означает, что функция убывает слева от вершины и возрастает справа от вершины.

Область значений:
Поскольку функция y = 2x^2 + 5x - 4 является параболой, то область значений будет представлена всеми реальными числами.

График функции:
График функции y = 2x^2 + 5x - 4 представляет собой параболу с вершиной в точке (-1.25, -6.125), направленную вверх, проходяющую через точки (0, -4) и (2, 6).