Исследуйте функцию y=4x^6-3x^8+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график данной функции, чтобы понять ее поведение:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 1000)
y = 4*x*6 - 3x**8 + 2

plt.plot(x, y)
plt.title('График функции y=4x^6-3x^8+2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике видно, что функция имеет форму параболы, открывающейся вверх. Она ограничена сверху и снизу, так как имеет высшие степени по x.

Теперь исследуем поведение функции на экстремумы:

Найдем производные функции по x:
y' = 24x^5 - 24x^7

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
24x^5 - 24x^7 = 0
24x^5(1 - x^2) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 1

Подставим их обратно в исходную функцию, чтобы найти значения y:

y(0) = 2
y(1) = 3

Таким образом, точки экстремума функции y=4x^6-3x^8+2: (0, 2) и (1, 3).

Для этого найдем вторую производную функции:

y'' = 120x^4 - 168x^6

Подставим найденные точки экстремума во вторую производную:

y''(0) = 0 (вогнутость функции)
y''(1) = 120 - 168 = -48 (выпуклость функции)

Таким образом, функция y=4x^6-3x^8+2 в точке x = 0 является вогнутой, а в точке x = 1 - выпуклой.