Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^3-3x^2+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы исследовать функцию y=2x^3-3x^2+1 на монотонность и экстремумы, найдем производную этой функции.

y'=6x^2-6x

Для найти точки экстремума приравняем производную к нулю:

6x^2-6x=0

6x(x-1)=0

Таким образом, x=0 или x=1.

Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию y=2x^3-3x^2+1, чтобы найти соответствующие значения y:

При x=0: y=20^3-30^2+1=1

При x=1: y=21^3-31^2+1=0

Таким образом, точки экстремума функции y=2x^3-3x^2+1: (0,1) (минимум) и (1,0) (максимум).

Теперь изучим знак производной на отрезках (-∞;0), (0;1) и (1;+∞) чтобы определить монотонность функции.

Для x<0: y'>6x^2-6x, так как x^2>0, то y'>0, отсюда делаем вывод, что функция возрастает на интервале (-∞;0).

Для 0<x<1: y'>6x^2-6x, так как x^2>0, но x<1, то y'<0, отсюда делаем вывод, что функция убывает на интервале (0;1).

Для x>1: y'>6x^2-6x, так как x^2>0, и x>1, то y'>0, отсюда делаем вывод, что функция возрастает на интервале (1;+∞).

Таким образом, функция y=2x^3-3x^2+1: