Y = 2x cosx + cosx – 2sinx + 3 Здравствуйте!
Помогите решить:
Вычислить экстремумы функции y = 2x cos x + cos x – 2 sin x + 3 на отрезке от 0 до п / 2.
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Прежде чем найти экстремумы функции, найдем ее производную:

y' = (2cosx - 2xsinx - 2cosx - 2sinx) = -2xsinx - 2sinx

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

-2xsinx - 2sinx = 0
-2sinx(x+1) = 0

Отсюда получаем две возможные точки экстремума: x = 0 и x = -1

Теперь вычислим значение функции в этих точках:

y(0) = 20cos0 + cos0 - 2sin0 + 3 = 1 + 3 = 4
y(-1) = 2(-1)cos(-1) + cos(-1) - 2sin(-1) + 3 = -2cos(-1) + cos(-1) + 2 + 3 = -2cos(-1) + cos(-1) + 5

Теперь осталось определить, является ли каждая из этих точек экстремумом или нет, для этого можно посчитать вторую производную и проверить знак:

y'' = (-2sinx -2)(-xsinx - sinx) = 2sin^2(x) + 2sin(x) + 2

y''(0) = 2(0) + 2(0) + 2 > 0, значит x = 0 - точка локального минимума
y''(-1) = 2sin^2(-1) + 2sin(-1) + 2 = 2 + 2sin(-1) + 2, в зависимости от значения sin(-1) можно определить характер экстремума в точке x = -1.

Таким образом, функция имеет локальный минимум в точке x = 0.