Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины Здравствуйте!
В контрольной попался вопрос: «Биссектриса равнобедренного треугольника, которая проведена из его вершины, противолежащей основанию, является высотой и медианой данного треугольника. Докажите данное утверждение.»
Очень нужна помощь в доказательстве этого утверждения! Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.

Пусть D - середина отрезка BC, E - точка пересечения биссектрисы AD с стороной BC, F - точка пересечения биссектрисы AD с стороной AC.

Так как AD - биссектриса треугольника ABC, то угол BAD = угол CAD. Также, так как AB = AC (равнобедренный треугольник), то угол BAC = угол CBA = угол CAB.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и AFC. У них AD = AF (биссектриса), угол ADE = угол AFC (вертикальные углы), угол DAЕ = угол FAС (биссектриса). Следовательно, треугольники ADE и AFC равны по углам, и, так как AD = AF, то они равны и по стороне, значит, DE = FC.

Так как DE = FC и AD = AF, то треугольник ADF также является равнобедренным, и AD - медиана и высота треугольника ABC.

Таким образом, биссектриса треугольника ABC, проведенная из вершины противолежащей основанию, является высотой и медианой данного треугольника.