С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. x^{2} +4*y^{2} =-z+1 , z=0 С помощью тройного интеграла необходимо вычислить объём тела, ограниченного поверхностями. Необходимо сделать чертёж тела, ограниченного этими поверхностями в системе координат, четко указать границы тройного интеграла и подробное вычисление этого интеграла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное тело ограничено поверхностями x^2 + 4y^2 = -z + 1 и z = 0.

Чтобы вычислить объем этого тела с помощью тройного интеграла, мы можем воспользоваться формулой:

V = ∫∫∫ dV

Границы интегрирования:
Для переменной x: от -1 до 1 (из уравнения x^2 + 4y^2 = -z + 1 следует, что -1 <= x <= 1)
Для переменной y: от -√((1-x^2)/4) до √((1-x^2)/4) (границы y для данного уравнения)
Для переменной z: от 0 до 1 (из уравнения z = 0 следует, что 0 <= z <= 1)

Теперь вычислим объем:
V = ∫(от 0 до 1) ∫(от -√((1-x^2)/4) до √((1-x^2)/4)) ∫(от -1 до 1) dx dy dz

Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной x:
∫(от -1 до 1) dx = 2

Теперь подставим это значение в интеграл по переменной y:
2 ∫(от -√((1-x^2)/4) до √((1-x^2)/4)) dy = 2 2 √((1-x^2)/4) = 2√(1 - x^2)

Теперь подставим это значение во внешний интеграл по переменной z:
∫(от 0 до 1) 2√(1 - x^2) dz = 2√(1 - x^2)

Окончательно, подставим значение внешнего интеграла по переменной x:
2 ∫(от -1 до 1) 2√(1 - x^2) dx = 8 ∫(от -1 до 1) √(1 - x^2) dx

Для вычисления данного интеграла требуется использовать подход со сменой переменных или тригонометрические подстановки.

Таким образом, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, равен 8 * π / 2 = 4π.