Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC, и уравнение касательной в точке C: координаты А (1;3), В (13;-13, С (-1;1) написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC, и уравнение касательной в точке C: координаты А (1;3), В (13;-13, С (-1;1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты центра описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой, которая гласит:
(x = \frac{a(A_x^2 + A_y^2)(B_y - C_y) + b(B_x^2 + B_y^2)(C_y - A_y) + c(C_x^2 + C_y^2)(A_y - B_y)}{2S},)
(y = \frac{a(A_x^2 + A_y^2)(C_x - B_x) + b(B_x^2 + B_y^2)(A_x - C_x) + c(C_x^2 + C_y^2)(B_x - A_x)}{2S}, )

где (S = a(C_x - A_x) + b(C_y - A_y) + c(A_xB_y - A_yB_x). )

Имеем, что (A (1;3)), (B (13;-13)) и (C (-1;1)). Таким образом, (a = AB = \sqrt{(13-1)^2 + (-13-3)^2} = \sqrt{12^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20,)

(b = BC = \sqrt{(-1-13)^2 + (1+13)^2} = \sqrt{-14^2 + 14^2} = \sqrt{196} = 14, )

(c = AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{-2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2.)

Теперь вычислим значение (S):

(S = 20(-1 + 1) + 14(1 - 3) + 2(1 \cdot -13 - 3 \cdot 13) = 14(-2) + 2(-13 - 39) = -28 - 104 = -132.)

Подставим все значения в формулу для нахождения координат центра окружности:

(x = \frac{20(1^2 + 3^2)(-13 - 1) + 14(13^2 + (-13)^2)(1 - 3) + 2((-1)^2 + 1^2)(13 + 13)}{2 \cdot -132} = \frac{20(1 + 9)(-14) + 14(169 + 169)(-2) + 2(1 + 1)(26)}{-264})

(= \frac{20 \cdot 10 \cdot -14 + 14 \cdot 338 \cdot -2 + 2 \cdot 2 \cdot 26}{-264} = \frac{-2800 - 9532 + 104}{-264} = \frac{-12428}{-264} = 47.)

Аналогично для координат (y):

(y = \frac{20(1 + 9)(13 + 13) + 14(13^2 + (-13)^2)(-1 - 1) + 2((-1)^2 + 1^2)(-13 + 13)}{2 \cdot -132} = \frac{20(10 \cdot 26) + 14 \cdot (169 + 169) \cdot -2 + 2 \cdot 2 \cdot 0}{-264})

(= \frac{20 \cdot 260 + 14 \cdot 338 \cdot -2}{-264} = \frac{5200 - 9532}{-264} = \frac{-4332}{-264} = 16.)

Таким образом, центр окружности (O) имеет координаты (O(47;16)).

Теперь найдем радиус окружности. Для этого вычислим расстояние от центра окружности до одной из вершин треугольника (ABC):

(r = OA = \sqrt{(47 - 1)^2 + (16 - 3)^2} = \sqrt{46^2 + 13^2} = \sqrt{2116 + 169} = \sqrt{2285}.)

Таким образом, уравнение окружности имеет вид:

((x - 47)^2 + (y - 16)^2 = 2285.)

Теперь найдем уравнение касательной в точке (C (-1;1)). Так как касательная проходит через точку и центр окружности, то угловой коэффициент этой касательной равен (\frac{y_c - y_o}{x_c - x_0} = \frac{1 - 16}{-1 - 47} = \frac{-15}{-48} = \frac{5}{16}.)

Уравнение касательной в точке (C) имеет вид:
(y - y_c = k(x - x_c) \Rightarrow y - 1 = \frac{5}{16}(x + 1).)

Таким образом, уравнение касательной в точке (C(-1;1)) имеет вид:
(16(y - 1) = 5(x + 1).)