К графику функции y=16√x в точках его пересечения с прямой y=2x+6 проведены две касательные. Найти абсциссу точки пересечения этих касательных.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения графика функции y=16√x и прямой y=2x+6. Подставим y=16√x в уравнение прямой:

16√x = 2x + 6

Решим это уравнение:

16√x = 2x + 6
√x = (2x + 6)/16
x = ((2x + 6)/16)^2
x = (x/8 + 3/8)^2
x = (x^2/64 + 3x/32 + 9/64)
64x = x^2 + 6x + 9
x^2 - 58x + 9 = 0

Далее найдем корни уравнения:

D = 58^2 - 419 = 3364

x1 = (58 + √3364)/2 = 57
x2 = (58 - √3364)/2 = 1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (1,8) и (57,120).

Теперь найдем угловой коэффициент касательных в точках (1,8) и (57,120). Формула для углового коэффициента касательной в точке (x0, y0) функции y=f(x) равна f'(x0). То есть нам нужно найти производную функции y=16√x.

y=16√x
y' = 8/√x

Теперь подставляем x=1 и x=57:

y'(1) = 8/√1 = 8
y'(57) = 8/√57

Таким образом, угловой кэффициент касательной в точке (1,8) равен 8, а в точке (57,120) равен 8/√57.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения этих касательных (x_int), приравниваем уравнения двух касательных:

2x_int + 6 = 8 = (8/√57)x_int + c

14/√57 = c

Подставляем c в уравнение y=2x+6:

16√x_int = 2x_int + 6
14√x_int - 2x_int = 6
√x_int(14 - 2√57) = 6
x_int = 36/(14 - 2√57) = (36*(14 + 2√57))/(196 - 228)
x_int = (504 + 72√57)/(196 - 228)
x_int = (504 + 72√57)/(-32)
x_int = -(63 + 9√57)

Итак, абсцисса точки пересечения этих касательных равна -(63 + 9√57) или примерно -81,88.