[tex]x + 61 = \sqrt{x+5} .[/tex] Найти сумму корней уравнения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[tex] x + 61 - \sqrt{x+5} = 0 [/tex]

Теперь введем новую переменную:

[tex] y = \sqrt{x+5} [/tex]

Получим систему уравнений:

[tex] \begin{cases} x + 61 - y = 0 \ y^2 = x + 5 \end{cases} [/tex]

Из первого уравнения найдем выражение для x:

[tex] x = y - 61 [/tex]

Подставим это значение во второе уравнение:

[tex] y^2 = y - 61 + 5 [/tex]

[tex] y^2 = y - 56 [/tex]

Решим квадратное уравнение:

[tex] y^2 - y + 56 = 0 [/tex]

D = 1 - 4156 = 1 + 224 = 225

[tex] y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2} = \begin{cases} y_1 = 8 \ y_2 = -7 \end{cases} [/tex]

Подставим оба значения y обратно в выражение для x:

Для y = 8:

[tex] x = 8 - 61 = -53 [/tex]

Для y = -7:

[tex] x = -7 - 61 = -68 [/tex]

Сумма корней уравнения равна:

[tex] -53 + -68 = -121 [/tex]

Таким образом, сумма корней уравнения равна -121.