На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили 61)а) приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чиселб) могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?в) найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чиселНУЖНО ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ И ОТВЕТ!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть исходные числа равны $10a + b$ и $10c + d$, где $a, b, c, d$ - цифры. Тогда сумма получившихся чисел равна $10b + a + 10d + c$, а сумма исходных чисел равна $10a + b + 10c + d$.

Имеем уравнение:
$$10b + a + 10d + c = \frac{1}{3}(10a + b + 10c + d).$$

$$30b + 3a + 30d + 3c = 10a + b + 10c + d.$$

$$9a - 29b + 9c - 29d = 0.$$

Теперь можем перебрать значения цифр, чтобы найти исходные числа. Например, пусть $a=1, b=8, c=9, d=2$. Тогда исходные числа равны 18 и 92, сумма которых равна 110. Получившиеся числа 81 и 29, сумма которых равна 110, что меньше в 3 раза.

б) Пусть сумма исходных чисел равна $10a + b + 10c + d = 2970$. Тогда сумма получившихся чисел равна $10b + a + 10d + c$.

Предположим, что сумма получившихся чисел равна $\frac{1}{5}(10a + b + 10c + d) = \frac{2970}{5} = 594$. Запишем уравнение:

$$5(10b + a + 10d + c) = 594.$$

$$50b + 5a + 50d + 5c = 594.$$

$$5a + 5c = 9 - 5b + 9 - 5d.$$

$$5(a+c) = 18 - 5(b+d).$$

Слева стоит число, кратное 5, справа - нет. Таким образом, сумма полученных чисел не может быть равной сумме исходных чисел в 5 раз.

в) Наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел будет наименьшим, если наименьшая сумма исходных чисел. Попробуем найти такие числа.

Изначально было дано, что сумма чисел равна 2970. Попробуем распределить это значение между исходными числами так, чтобы они были между 10 и 99. Например, попробуем взять числа 490 и 2480. Если поменять местами цифры в каждом числе, получится 940 и 842. Сумма получившихся чисел равна 1782.

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел равно 1782.