1. Чему равна сумма: 1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+⋯+1/(99*101)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи необходимо преобразовать каждое слагаемое в виде алгебраической дроби:

1/((2n-1)(2n+1)) = 1/(2(2n-1)2n*(2n+1)) = A/(2n-1) + B/(2n+1), где A и B – некоторые числа.

1/(2n-1) + 1/(2n+1) = ((2n+1)+(2n-1))/((2n+1)(2n-1)) = (4n)/(4n^2-1), т.е. A = 1/2n и B = -1/2n.

Сумма первых k слагаемых: 1/13+1/35+1/57+...+1/(2k-1)(2k+1) = (1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2k-1)-1/(2k+1)] = 1/2 - 1/(2k+1).

Таким образом, сумма данного ряда равна 1/2 - 1/(101) = 1/2 - 1/101 = (101-1)/202 = 100/202 = 50/101.