Найдите наибольшее значение функции y=x*(5-x)^3 на интервале (0;5)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего значения функции y=x*(5-x)^3 на интервале (0;5) необходимо найти максимум функции на этом интервале.

Для этого найдем производную функции y по x:
y' = (5-x)^3 - 3x*(5-x)^2
y' = (5-x)^2 ((5-x) - 3x)
y' = (5-x)^2 (5-4x)

Далее приравняем производную к нулю и найдем точку экстремума:
(5-x)^2 (5-4x) = 0

Из этого уравнения получаем две возможные точки экстремума: x=5 и x=5/4.
Поскольку интервал (0;5) не включает в себя точку x=5, то нам интересует точка x=5/4.

Подставим x=5/4 в исходную функцию для нахождения максимального значения:
y = 5/4 (5 - 5/4)^3
y = 5/4 (5/4)^3
y = 5/4 * 125/64
y = 625/256

Таким образом, наибольшее значение функции y=x*(5-x)^3 на интервале (0;5) равно 625/256.