Исследуйте на монотонность: y(x)=ln(11x-10)-ln(10x-11)+11

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования на монотонность функции y(x) = ln(11x-10) - ln(10x-11) + 11 найдем производную этой функции и выясним знаки производной на интервалах.

Исходная функция:
y(x) = ln(11x-10) - ln(10x-11) + 11

Найдем производную функции y(x) по x, используя правило дифференцирования логарифмов и цепного правила:
y'(x) = 1/(11x-10) 11 - 1/(10x-11) 10
y'(x) = 11/(11x-10) - 10/(10x-11)

Для дальнейшего анализа производной упростим выражение:
y'(x) = (11(10x-11) - 10(11x-10))/((11x-10)(10x-11))
y'(x) = (110x - 121 - 110x + 100)/((11x-10)(10x-11))
y'(x) = -21/((11x-10)(10x-11))

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы выяснить монотонность функции:
-21/((11x-10)(10x-11)) = 0
-21 = 0
Производная не равна нулю, следовательно, у функции нет критических точек.

Теперь исследуем знак производной на различных интервалах:

При x < 10/11 (первый интервал):
(11x-10) < 0, (10x-11) < 0
Из этого следует, что оба множителя знаменателя производной положительны, значит, y'(x) < 0. То есть функция убывает на этом интервале.

При 10/11 < x < 11/10 (второй интервал):
(11x-10) > 0, (10x-11) < 0
Таким образом, первый множитель положителен, а второй - отрицателен. Следовательно, y'(x) > 0. Функция возрастает на этом интервале.

При x > 11/10 (третий интервал):
(11x-10) > 0, (10x-11) > 0
Оба множителя знаменателя производной положительны, поэтому y'(x) < 0. Функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция y(x) = ln(11x-10) - ln(10x-11) + 11 монотонно возрастает на интервале (10/11, 11/10) и монотонно убывает на интервалах (-∞, 10/11) и (11/10, +∞).