F(x)= (x^2-8x)(x^2-16x+64)/3x-24
Найти промежутки убывания функции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения промежутков убывания функции необходимо найти производную и найти её нули.

Сначала найдем производную функции F(x):
F'(x) = (2x-8)(x^2-16x+64) + (x^2-8x)(2x-16) / 3x-24
F'(x) = 2(x-4)(x^2-16x+64) + 2(x^2-8x)(x-8) / 3x-24
F'(x) = 2(x-4)(x-8)^2 + 2(x^2-8x)(x-8) / 3x-24
F'(x) = 2(x-4)(x-8)(x-8) + 2(x-8)x^2 - 16x^2 / 3x-24
F'(x) = 2(x-4)(x-8)(x-8) + 2x^3 - 16x^2) / 3x-24
F'(x) = 2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x(x^2 - 8x) / 3x-24
F'(x) = 2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x^3 - 16x^2 / 3x-24
Сократим дробь:
F'(x) = 2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x(x^2 - 8x)/3(x-8)
F'(x) = 2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x^2 - 16x / 3

Теперь найдем нули производной:
2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x^2 - 16x = 0
2(x-8)(x^2 - 12x + 32) + 2x^2 - 16x = 0
2(x-8)(x-4)(x-8) + 2(x^2 - 8x) = 0
2(x-8)(x-4)(x-8) + 2x(x-8) = 0
2(x-8)(x-8)(x-4 + x) = 0
2(x-8)(x-8)(2x-4) = 0
Значения x, при которых производная равна нулю: x = 8, x = 8, x = 2.

Теперь найдем интервалы убывания функции. Интервалы, на которых функция убывает, находятся между нулями производной и за пределами этих нулей.

Подставим значения x = 2 и x = 8 в производную, чтобы определить знак производной в этих точках:
F'(2) = 2(2-8)(2-4)(2-8) + 22^2 - 162 / 3 = 160/3
F'(8) = 2(8-8)(8-4)(8-8) + 28^2 - 168 / 3 = -128/3

Таким образом, функция убывает на интервалах (-бесконечность;2) и (8; +бесконечность).

Ответ: промежутки убывания функции F(x) - (-бесконечность;2) и (8; +бесконечность).