Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение имеет единственный корень[tex]ax + \sqrt{-5-6x-x^2} =5a +2[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

[tex]-5-6x-x^2 \geq 0[/tex]

Перепишем неравенство в виде квадратного трехчлена:

[tex]x^2 + 6x + 5 \leq 0[/tex]

Факторизуем квадратное уравнение:

tex(x+5) \leq 0[/tex]

Находим корни данного уравнения: x = -1, x = -5

Далее построим таблицу знаков для неравенства:

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при -5 <= x <= -1.

Подставляем найденные значения x обратно в исходное уравнение:

При x = -5:
[tex]a(-5) + \sqrt{-5-6(-5)-(-5)^2} = 5a +2[/tex]
[tex]-5a + \sqrt {-5+30-25} = 5a+2[/tex]
[tex]-4a+4=5a+2[/tex]
[tex]-9a=-2[/tex]
[tex]a=\frac{2}{9}[/tex]

При x = -1:
[tex]a(-1) + \sqrt{-5-6(-1)-(-1)^2} = 5a +2[/tex]
[tex]-a + \sqrt{-5+6-1} = 5a+2[/tex]
[tex]-a + \sqrt{0} = 5a+2[/tex]
[tex]-a = 5a+2[/tex]
[tex]-6a = 2[/tex]
[tex]a = -\frac{1}{3}[/tex]

Таким образом, единственный корень уравнения получается при значениях a = 2/9 и a = -1/3.