Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M— середина ребра SD.
Найдите угол между прямой AM и плоскостью CSF, если AB:SA==1:√19

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O центр правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Так как пирамида правильная, то центр описанной окружности шестиугольника ABCDEF совпадает с точкой O.

Точка O является центром пятой поверхности, описанной вокруг треугольника AEF, поэтому точка O равноудалена от вершин A, E и F. Опустим перпендикуляр из точки O на плоскость (AEF), обозначим его пересечение с этой плоскостью за Т. Так как треугольник AEF правильный, O всегда будет являться центром этого треугольника и другие точки, в том числе точка Т, всегда будут лежать на одинаковом расстоянии от A, E и F. Тогда можно высоты SA, EA и FA можно провести из точки S и угол SAO является прямым.

Из правильности треугольника AEF следует, что эти три высоты являются медианами, а значит, их точка пересечения, точка О, также является центром масс. Таким образом, угол AOE также будет прямым.

Из теоремы Пифагора:
SA = √(AO² + OS²)
SA = √(AO² + OM²)
SA = √(AO² + MO²)
Сначала найдем длину стороны пирамиды AO. Пусть длина стороны правильной шестиугольной пирамиды равна а, тогда диагональ базы равна 2a и можно использовать теорему Пифагора в треугольнике ABO:
AO = √(AB² + BO²)
AO = √(19a²/6 + a²)
AO = √(a²(19/6 + 1))
AO = √(a²(25/6))
AO = √(25/6)a

Теперь можем искать значение стороны самой пирамиды. Выразим b через сторону пирамиды:
SA = √(AO² + MO²)
SA = √((25/6)a² + (1/2)b²)
SA = √((25/6)a² + (1/2)(2a)²)
SA = √(25/6)a + a

Так как нас интересует угол между прямой AM и плоскостью CSF, вследствие того, что прямые AM и CSF лежат в плоскости AOF, можно предположить, что угол между линиями AM и CSF равен углу между векторами AM и OF в плоскости AOF. Сначала найдем координаты векторов AM и OF в плоскости AOF.

Вектор AM = MT + TM', FM = FM' + M'F', где T - середина ребра EF, F' - центр грани AEF:
MТ = (1/2)MT, M'F' = (1/2)M'F'
MТ = (1/2)EF - (1/2)ET, где ЕТ - шарнирный радиус правильного треугольника AEF:
MTO = (1/2)(AB/2) = (1/2)(√(19a²)/2) = (1/4)√(19a²)
F'M' = (1/2)(AO/2) = (1/2)(√(25/6)a/2) = (1/4)√(25/6)a

Осталось найти скалярное произведение векторов AM и OF в векторной плоскости AOF:
AM DOT FM = (1/2)√(19a²) (1/4)√(25/6)a + (1/4)√(19a²) (1/2)√(25/6)a
AM DOT FM = (1/8)√(19a²)√(25/6)a + (1/8)√(19a²)√(25/6)a
AM DOT FM = (1/8) (Σ(1925/6)a²
AM DOT FM = (1/8) * (475/6)a²
AM DOT FM = (475/48)a²

Таким образом, угол между прямой AM и плоскостью CSF будет равен arccos((475/48)a²/(25/6)a + a).