Докажите, что во вписанном четырёхугольнике ABCD произведе- ния противоположных сторон равны тогда и только тогда когда BD является симедианой треугольника ABC.
Докажите, что во вписанном четырёхугольнике ABCD произведе- ния противоположных сторон равны тогда и только тогда когда BD является симедианой треугольника ABC.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Пусть AB=c, BC=a, CD=b, AD=d, BD=e.
1) Пусть BD является симедианой. Тогда по определению симедианы отношение длин сегментов противоположных сторон в треугольнике ABC равно, то есть AD/DC=AB/BC. Из этого получаем, что ad=bc.
Теперь докажем, что произведения противоположных сторон равны. Умножим стороны AB и CD: ac=bd. Теперь распишем ad и bc через стороны треугольника ABC: ad=(AB/BC)DC и bc=(AB/BC)cd. Подставляем это в уравнение ac=bd: (AB/BC)DC(AB/BC)CD=(AB/BC)^2DCCD=DCCD. Получаем, что ACBD=BCAD, то есть произведения противоположных сторон равны.
2) Пусть произведения противоположных сторон равны. Тогда ac=bd. Рассмотрим треугольник ABC. Из условия следует, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с вершинами противоположных сторон, пересекаются в одной точке на симедиане, проходящей через противоположную вершину треугольника (то есть, BD является симедианой).
Таким образом, мы показали, что произведения противоположных сторон равны тогда и только тогда, когда BD является симедианой треугольника ABC.