Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15? Ответ обосновать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти количество чисел, удовлетворяющих условиям задачи, нужно использовать принцип включений-исключений.

Обозначим количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 102 как N(102), количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 14 как N(14), количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 15 как N(15).

Используя формулу включений-исключений:

N(102) = [10,000 / 102] = 98
N(14) = [10,000 / 14] = 714
N(15) = [10,000 / 15] = 666

Теперь найдем количество чисел, удовлетворяющих условиям задачи:
N(14,15) - количество чисел, которые делятся и на 14 и на 15. Это числа, кратные НОК(14,15) = 210.
N(102,14) - количество чисел, которые делятся и на 102 и на 14. Это числа, кратные НОК(102,14) = 714.
N(102,15) - количество чисел, которые делятся и на 102 и на 15. Это числа, кратные НОК(102,15) = 510.
N(14,15,102) - количество чисел, которые делятся на 14, 15 и 102. Это числа, кратные НОК(14,15,102) = 714.

Теперь применим формулу включений-исключений:
N(102) - N(102,14) - N(102,15) + N(102,14,15) = 98 - 714 - 510 + 714 = 402

Таким образом, существует 402 натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15.