Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15? Ответ обосновать.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют условию задачи, нужно разложить число 102 на простые множители: 102 = 2 3 17

Заметим, что для того чтобы натуральное число было кратно 102, оно должно содержать все простые множители числа 102 (2, 3 и 17).

Теперь посмотрим на числа 14 и 15: 14 = 2 7, 15 = 3 5

Очевидно, что те натуральные числа, которые делятся на 14 или на 15, содержат в себе соответственно множители 2 и 7 или 3 и 5.

Таким образом, для того чтобы натуральное число было кратно 102, но не кратно ни 14, ни 15, его должно быть кратно 2, 3 и 17, но не должно быть кратно ни 7, ни 5.

Числа, которые удовлетворяют этим условиям – это числа, которые делятся на 102 и не делятся на 14 и 15. Исключив из всех натуральных чисел, не превышающих 10,000, натуральные числа, которые делятся на 14 и 15 (т.е. на их НОК, равное 210), мы найдем количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Чисел, делящихся на 210, не превышающих 10,000, найдем, разделив 10,000 на 210 и округлив результат в меньшую сторону: 10,000 / 210 ≈ 47

Таким образом, всего существует 47 натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15.