В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС биссектрисы углов В и С пересекаются на основании АD .
a) докажите ,что основание АD равно сумме боковых сторон
б) Найдите высоту трапеции АВСD , если АВ=8, СD=10 и ВС=12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть E - точка пересечения биссектрис углов В и С. Тогда по свойству биссектрис треугольника, угол BED = угол AEB, а угол CEB = угол DEC. Так как угол AEB = угол CED, то треугольники AEB и CED подобны по углам и сторонам.

Пусть AE = x, EB = y, CE = z, и ED = t. Тогда из подобия треугольников AEB и CED можно записать пропорции:

x/y = z/t и AE/EB = CE/ED

Из второй пропорции получаем, что x = z+y

Из первой пропорции:

z = t * x/y

Тогда ED = t = y * x / (z + y) = x, так как z = x-y

Таким образом, ED = x. То есть, основание AD равно сумме боковых сторон AB и CD.

б) Высоту трапеции можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике AHE, где H - середина стороны BC (так как AE и ED - медианы треугольника BCD, то точка H, где они пересекаются, является серединой стороны BC).

Таким образом, высота трапеции равна:

HE = sqrt(AH^2 - AE^2)

AH = (1/2)(BC) = (1/2)(12) = 6

AE = (1/2)(AB + CD) = (1/2)(8 + 10) = 9

HE = sqrt(6^2 - 9^2) = sqrt(36 - 81) = sqrt(-45)

Так как результат отрицательный, это означает, что трапеция имеет высоту в иррациональной форме.