Решить уравнение с корнями третьей степени
[tex]\sqrt[3]{4+8x}-\sqrt[3]{8x-4}=2[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала введем замену. Обозначим [tex]y=\sqrt[3]{4+8x}[/tex]. Тогда исходное уравнение примет вид:

[tex]y - \sqrt[3]{8x-4} = 2[/tex].

Теперь выразим [tex]x[/tex] через [tex]y[/tex]:

Поднесем обе части уравнения к кубу:

[tex](y - \sqrt[3]{8x-4})^3 = 2^3[/tex],
[tex]y^3 - 3y^2\sqrt[3]{8x-4} + 3y(\sqrt[3]{8x-4})^2 - (\sqrt[3]{8x-4})^3 = 8[/tex].

Заменим [tex]\sqrt[3]{4+8x}[/tex] на [tex]y[/tex]:

[tex]y^3 - 3y^2\sqrt[3]{8x-4} + 3y(\sqrt[3]{8x-4})^2 - (\sqrt[3]{8x-4})^3 = 8[/tex],
[tex]y^3 - 3y^2\sqrt[3]{8(y^3-4)} + 3y(8y - 4) - 8(y - 4) = 8[/tex].

Заменим [tex]z = y^3[/tex]:

[tex]z - 3yz + 24y - 8y - 32 = 8[/tex],
[tex]z - 3yz + 16y - 40 = 0[/tex].

Рассмотрим это как кубическое уравнение относительно [tex]y[/tex]:

[tex]y^3 - 3zy^2 + 16y - 40 = 0[/tex].

Далее решим данный кубический многочлен.