Найдите все такие тройки (a; b; c) натуральных чисел, что сумма чисел, обратных к числам a, a + b и a + b + c, равна 1.
Найдите все такие тройки (a; b; c) натуральных чисел, что сумма чисел, обратных к числам a, a + b и a + b + c, равна 1.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Для начала определим, что означает "число, обратное к числу x". Обратным к числу x называется число y, такое что x * y = 1. То есть, обратное к числу x равно 1/x.
Итак, у нас есть условие: 1/a + 1/(a+b) + 1/(a+b+c) = 1.
Перенесем все дроби в общий знаменатель:
(a+b)(a+b+c) + a(a+b+c) + a(a+b) = a(a+b)(a+b+c)
a^2 + ab + ab + b^2 + ac + bc + a^2 + ab = a^3 + ab^2 + a^2c + ab^2 + a^2c + abc
a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc = a^3 + 2a^2b + ab^2 + 2a^2c + abc
a^2 - a^3 + 2ab - 2a^2b + ab^2 - b^2 + ac + bc - abc - 2a^2c = 0
-a^3 - a^2 + ab^2 - b^2 - 2a^2b + 2ab + ac - abc + bc - 2a^2c = 0
-a^3 - a^2 + a(b^2 - 2b + c) + c(a - 2a^2) + b(c - ab) = 0
-a^3 - a^2 + a(b-1)^2 + c(a-2a^2) + b(c-ab) = 0
Очевидно, что здесь существует бесконечное множество решений, например:
Пусть a = 1. Тогда условие сводится к 1/b + 1/(b+1) = 1, что эквивалентно b^2 + b = 1, что имеет решения b = 1, b = -1.Итак, все такие тройки натуральных чисел (a; b; c) удовлетворяющие условию: (1; 1; k) и (1; -1; k), где k - любое натуральное число.