Задача по математике Дан выпуклый семиугольник. Докажите, что одну из его вершин можно удалить таким образом, чтобы никакие три диагонали, соединяющие оставшиеся вершины, не имели общей внутренней точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение по индукции.

База:
Для выпуклого четырехугольника утверждение очевидно.

Переход:
Пусть утверждение верно для любого выпуклого семиугольника с числом вершин меньше, чем у текущего семиугольника.

Рассмотрим выпуклый семиугольник. Если некоторая его вершина является внутренней точкой диагонали, то удаление этой вершины не нарушит условие. Иначе, все вершины расположены по кругу.

Пусть существует такая вершина, что при ее удалении все три диагонали, соединяющие оставшиеся вершины, имеют общую внутреннюю точку. Разделим наши вершины на две гнутости, а именно на две группы вершин, если соединение каждой вершины из первой группы с каждой из второй приведет к нарушению условия. При этом диагональ между вершинами, лежащими в одной группе, не приводит к нарушению условия (так как в уже доказанном случае утверждение верно для меньших семиугольников).

Рассмотрим последовательность вершин между двумя самыми удаленными вершинами, лежащими в разных группах. Если выпуклый многоугольник содержит более семи вершин, то по индукционному предположению можем удалить вершину, нарушающую условие, и получить меньший многоугольник, что приводит к противоречию. Значит, утверждение верно и для семиугольника.

Таким образом, одну из вершин выпуклого семиугольника всегда можно удалить так, чтобы никакие три диагонали, соединяющие оставшиеся вершины, не имели общей внутренней точки.