Найдите точки падения и роста и экстремум функции [tex] \frac{x { }^{2} - 8x }{x + 1} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точек падения и роста, а также экстремумов функции, необходимо вычислить производную и приравнять её к нулю.

Дана функция [tex] f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1} [/tex]

Найдем производную функции [tex] f(x) [/tex] при помощи правила деления:

[tex] f'(x) = \frac{(x+1)(2x-8) - (x^2 - 8x)}{(x+1)^2} [/tex]

[tex] f'(x) = \frac{2x^2 - 8x + 2x - 8 - x^2 + 8x}{(x+1)^2} [/tex]

[tex] f'(x) = \frac{x^2 - 8}{(x+1)^2} [/tex]

Теперь приравняем производную к нулю:

[tex] x^2 - 8 = 0 [/tex]

[tex] x^2 = 8 [/tex]

[tex] x = \pm \sqrt{8} [/tex]

Следовательно точка падения функции находится в точке [tex] x = -\sqrt{8} [/tex], а точка роста в точке [tex] x = \sqrt{8} [/tex].

Чтобы найти экстремумы, вычислим вторую производную функции [tex] f(x) [/tex]:

[tex] f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 8}{(x+1)^2} \right) [/tex]

[tex] f''(x) = \frac{2(x+1)(2x) - (x^2 - 8)(2(x+1))}{(x+1)^4} [/tex]

[tex] f''(x) = \frac{4x(x+1) - 2(x^2 - 8)(x+1)}{(x+1)^3} [/tex]

[tex] f''(x) = \frac{4x^2 + 4x - 2x^3 - 2x^2 + 16 + 16x}{(x+1)^3} [/tex]

[tex] f''(x) = \frac{-2x^3 + 2x^2 + 20x + 16}{(x+1)^3} [/tex]

Подставляем [tex] x = -\sqrt{8} [/tex] и [tex] x = \sqrt{8} [/tex] в [tex] f''(x) [/tex] и анализируем знаки, чтобы определить характер экстремумов.