Нужна помощь с решением задачек 1. Число 2010 представили в виде суммы 4 точных квадратов. Сколько среди них могло
быть нечётных чисел? Приведите все возможные ответы и подтверждающие
их примеры.
2. Иннокентий написал число 1000100110021003...1099. Найдите остаток этого числа при
делении а) на 11; б) на 101.
3. Докажите, что в любом натуральном десятизначном числе, делящемся на 137, можно
поменять местами две цифры так, чтобы получилось десятизначное число, также
делящееся на 137.
очень надо чтобы было объяснение!!!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В данной задаче число 2010 можно представить в виде суммы четырех точных квадратов следующими способами:
2010 = 20^2 + 14^2 + 8^2 + 4^2
2010 = 20^2 + 18^2 + 2^2 + 2^2

Так как квадрат любого нечетного числа также является нечетным числом, то в сумме из 4 точных квадратов обязательно должно быть четное количество нечетных чисел. Следовательно, количество нечетных чисел среди них может быть либо 0, либо 2.

Для нахождения остатка числа, представленного как 1000100110021003...1099, при делении на 11 и 101 можно воспользоваться правилом делимости для этих чисел.

а) Для числа 1000100110021003...1099, при делении на 11 можно сложить каждую цифру сначала, затем вычесть сумму каждой нечетной цифры. Если результат делится на 11, то исходное число также будет делиться на 11. В данном случае сумма всех цифр, начиная с первой, потом вычитаем сумму всех нечетных цифр:
1 - 0 + 0 - 0 + 1 - 0 + 1 - 0 + 2 - 0 + 1 - 0 + 0 - 3 + ... - 9 + 9 = 0

Таким образом, остаток от деления числа на 11 равен 0.

б) Для числа 1000100110021003...1099, при делении на 101 можно также рассмотреть последнюю цифру как единицы, предпоследнюю - десятки, затем произвести суммирование с чередованием знаков. Если результат делится на 101, то исходное число также будет делиться на 101.
В данном случае число является арифметической прогрессией с шагом 10, и мы можем вычислить сумму такой прогрессии от 1 до 99. Полученная сумма делится на 101 и остаток будет равен 64.

Таким образом, остаток от деления числа на 101 равен 64.

Чтобы доказать утверждение, что в любом натуральном десятизначном числе, делящемся на 137, можно поменять местами две цифры так, чтобы получилось десятизначное число, также делящееся на 137, можно воспользоваться следующим рассуждением:

Пусть дано десятизначное число abcdefghij, которое делится на 137. Тогда можно записать это число как:
abcdefghij = 1000000000a + 100000000b + 10000000c + 1000000d + 100000e + 10000f + 1000g + 100h + 10*i + j

После перестановки двух цифр этого числа получим новое десятизначное число с переставленными цифрами (пусть это будет число klmnopqrst). Тогда можем записать это число как:
klmnopqrst = 1000000000k + 100000000l + 10000000m + 1000000n + 100000o + 10000p + 1000q + 100r + 10*s + t

Теперь, если найдется такая перестановка цифр, что оба числа abcdefghij и klmnopqrst делятся на 137, то можно утверждать, что любое десятизначное число, делящееся на 137, можно раскладывать на два десятизначных числа с переставленными цифрами, также делящимися на 137.