Найдите среднее арифметическое( в градусах) корней уравнения cos³x+sin³x =1 на промежутке [-2п;2п]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни уравнения cos³x+sin³x=1 на промежутке [-2п;2п].

Заметим, что данное уравнение можно переписать в виде: cos³x+(1-cos²x)³=1. Разложим сумму кубов:

cos³x + (1-3cos²x+3cos⁴x-cos⁶x)=1
3cos²x-3cos⁴x+cos⁶x=0
cos²x(3-3cos²x+cos⁴x)=0

Таким образом, корни уравнения cos³x+sin³x=1 являются значениями x, для которых cos²x=0. Так как на промежутке [-2п;2п] cos²x принимает значение 0 при x=π/2 и x=3π/2.

Следовательно, корни уравнения на данном промежутке равны π/2 и 3π/2.

Теперь найдем среднее арифметическое корней:

Среднее арифметическое корней = (π/2 + 3π/2)/2 = (2π)/2 = π

Ответ: Среднее арифметическое корней уравнения cos³x+sin³x=1 на промежутке [-2п;2п] равно π градусов.