Нужно решить в натуральных числах. НОД(а;b)+НОК(a;b)=a+b+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - два натуральных числа.

По определению НОД(a; b) - наибольший общий делитель чисел a и b, а НОК(a; b) - наименьшее общее кратное чисел a и b.

Так как НОД(a; b) и НОК(a; b) являются делителями чисел a и b, то можно записать:

а = НОД(a; b) m
b = НОД(a; b) n

где m и n - натуральные числа.

Тогда НОК(a; b) = m n НОД(a; b)

Теперь подставим найденные значения в формулу:

НОД(a; b) + НОК(a; b) = a + b + 2

НОД(a; b) + m n НОД(a; b) = НОД(a; b) m + НОД(a; b) n + 2

Разделим обе части равенства на НОД(a; b):

1 + m * n = m + n + 2

m * n - m - n + 1 = 0

(m - 1)(n - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных случая:

m = 1, тогда а = НОД(a; b), b = НОД(a; b) - это значит, что a и b равны друг другу.n = 1, тогда b = НОД(a; b), а = НОД(a; b) - это значит, что a и b равны друг другу.

Таким образом, если НОД(a; b) + НОК(a; b) = a + b + 2, то либо a = b, либо a и b являются делителями друг друга.