Сумма квадратов корней уравнения 3х2 + ах – 7 = 0 равна 46/9 . Найдите значение а.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Выразим корни уравнения через параметр a.

3x^2 + ах – 7 = 0

D = a^2 + 4 * 3 * 7 = a^2 + 84

x1 = (- a + √(a^2 + 84))/6

x2 = (- a - √(a^2 + 84))/6

Запишем выражение для суммы квадратов корней.

(- a + √(a^2 + 84))/6)^2 + (- a - √(a^2 + 84))/6)^2 = 46/9

((- a + √(a^2 + 84)^2 + (- a - √(a^2 + 84)^2)/36 = 46/9

((- a + √(a^2 + 84)^2 + (a + √(a^2 + 84)^2) = 46 * 36/9

a^2 + 84 - 2a√(a^2 + 84) + a^2 + a^2 + 2a√(a^2 + 84) + a^2 + 84 = 184

4a^2 + 2 * 84 = 184

4a^2 = 184 - 168

a^2 = 16/4

a = √4 = 2

Проверка.

D = a^2 + 84 = 4 + 84 = 88

((- 2 + √88)^2 + (- 2 - √88)^2)/36 = 46/9

88 + 4 - 4√88 + 4 + 88 - 4√88 = 46 * 36/9

184 = 184

Ответ: a = 2.

По теореме Виета выражение x1^2 + x2^2  получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1 + x2 = -p;

(x1 + x2)^2 = (-p)^2; раскрываем скобки: x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = p^2; 

выражаем искомую сумму: x1^2 + x2^2 = p^2 - 2x1x2 = p^2 - 2q.

Мы получили полезное равенство: x1^2 + x2^2 = p^2 - 2q.

Наше уравнение нужно сделать приведенным 3x^2 + ах – 7 = 0, для чего поделить все одночлены на коэффициент 3.

Тогда p = a/3, а q = - 7/3.

p^2 - 2q = 46/9

(a/3)^2 - 2 * (- 7/3) = 46/9

a^2/9 = 46/9 - 14/3

a^2 = (46 - 14 * 3)/9 = 4/9 * 9

a^2 = 4

a = 2

Ответ: a = 2.

(второй способ решения проще)