12. Дан многочлен Р(Х)=Х(в4степени)+аХ(в3степени)+bХ+с, а, b, c ∈ R. Докажите, что не существует действительных чисеk а, b, с, при которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен Q(Х) = Х(в 3 степени) - Х.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что существуют действительные числа а, b, с, при которых многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен Q(Х).

Так как многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен Q(Х), то выполняется равенство Р(Х) = Q(Х)*D(Х), где D(Х) - некоторый многочлен.

Распишем многочлены Р(Х) и Q(Х):

Р(Х) = Х^4 + аХ^3 + bХ + c
Q(Х) = Х^3 - Х

Так как многочлен Р(Х) делится без остатка на многочлен Q(Х), то остаток от деления равен нулю. Это значит, что при подстановке Х = 0 должно выполняться равенство Р(0) = 0. Подставляя Х = 0, получаем:

c = 0

Таким образом, из условия деления без остатка следует, что c = 0.

Теперь рассмотрим многочлены Р(Х) и Q(Х) без учета свободного члена:

Р(Х) = Х^4 + аХ^3 + bХ
Q(Х) = Х^3 - Х

Умножим многочлен Q(Х) на некоторое число k:

kQ(Х) = kХ^3 - kХ

Пусть это выражение равно многочлену Р(Х):

kQ(Х) = Х^4 + аХ^3 + bХ

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х, получаем:

k = 1
k = а
-k = b

Из этих равенств следует, что такие действительные числа а, b, c не существуют. Следовательно, многочлен Р(Х) не делится без остатка на многочлен Q(Х) = Х^3 - Х.