Дан правильный треугольник ABC. точка K делит сторону AC в отношении 2:1 , а точка M сторону AB в отношении 1:2 ( считая в обоих случаях от вершины A). показать, что длина отрезка KM равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC.

Так как треугольник ABC правильный, то его центр описанной окружности O совпадает с центром вписанной окружности, а радиус описанной окружности равен радиусу вписанной
Проведем радиусы окружностей OA и OM.

Так как точка K делит сторону AC в отношении 2:1, то AK = 2KC. Аналогично, так как точка M делит сторону AB в отношении 1:2, то AM = 2MB.

Из этого следует, что K и M - середины отрезков AC и AB соответственно. Значит, KM || BC и KM = \cfrac{1}{2}*BC.

Так как треугольник ABC правильный, то BC = AC = AB, следовательно KM = \cfrac{1}{2}BC = \cfrac{1}{2}AC = \cfrac{1}{2}*AB = радиус окружности.

Таким образом, длина отрезка KM равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.