Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой то треугольник - равнобедренный.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан треугольник ABC, в котором биссектриса из вершины A является высотой. Обозначим высоту треугольника как h, а биссектрису из вершины A как bis.

Так как биссектриса является высотой, то угол ABC равен углу BAC. Также угол ACB равен углу CAB из-за того, что треугольник ABC - равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где H - основание высоты. Так как биссектриса треугольника ABC является высотой, то угол BAH равен углу CAH.

Таким образом, у треугольника ABH угол BAH равен углу BCA, а угол ABH равен углу ABC. Значит, треугольник ABH равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника ABH следует, что стороны AB и AH равны. Но сторона AH равна h, то есть высоте треугольника. Следовательно, стороны AB и BC также равны, что и требовалось доказать.

Таким образом, если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник является равнобедренным.